Details for entry \(A_2(7,4;3)\)

Known codes

• 333 Automorphism group \(G_{4,6}\) HeinleinKiermaierKurzWassermann2017 (Theorem 2) file
• 329 BraunReichelt2014, HonoldKiermaier2016 file
• 304 KohnertKurz2008 file
• 256 LMRD KoetterKschischang2008, Gabidulin1985 file
• 254 GutierrezMolina2020

Lower bounds

• construction_HK15 ( ) : 329
• construction_honold ( ) : 301
• expurgation_augmentation_special_cases ( ) : 301
• expurgation_augmentation_general ( ) : 296
• construction_1 ( ) : 291
• pending_dots ( show
  optimal [(0, 1, 2), (0, 3, 4), (0, 3, 5), (0, 5, 6), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 4, 6)] (if conjecture about Ferrers Diagram Rank-Metric Codes is true: 291 with optimal [(0, 1, 2), (0, 3, 4), (0, 3, 5), (0, 5, 6), (1, 3, 6), (1, 4, 5), (2, 4, 6)])
  ) : 291
• ef_computation ( show
  [(0, 1, 2), (0, 3, 4), (1, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 4, 5), (1, 4, 6), (0, 5, 6)]
  ) : 289
• JohnsonLB ( ) : 283
• JohnsonLB_special ( ) : 283
• two_pivot_block_construction ( ) : 273
• generalized_linkage ( 3,1 ) : 265
• generalized_linkage_multipleblocks ( show
  [3, 4],[0, 1]
  ) : 265
• improved_linkage ( 3 ) : 265
• multicomponent ( ) : 265
• CKMP2019_Cor_42 ( (3, 4) ) : 257
• CKMP2019_Lem_41 ( (3, 4) ) : 257
• LiuChangFeng2019_Theo_2_6 ( ) : 256
• graham_sloane ( ) : 93
• HKK_lemma_2_4_lower_bound ( ) : 82
• sphere_covering ( ) : 56

Upper bounds

• Ahlswede_Aydinian ( 1, 2 ) : 381
• improved_johnson ( ) : 381
• linear_programming_bound ( ) : 381

Bound for codes containing the lifted MRD code

(see EtzionSilberstein2012, Heinlein2018, and Kurz2019 for details)
291

Comments

HeinleinKiermaierKurzWassermann2017, Theorem 1
Let \(C\) be a set of planes in \(\operatorname{PG}(6,2)\) mutually intersecting in at most a point. If \(|C|\ge 329\), then the automorphism group of \(C\) is conjugate to one of the \(33\) subgroups of \(\operatorname{GL}(7,2)\). The orders of of these groups are \(1^1 2^1 3^2 4^7 5^1 6^3 7^2 8^{11} 9^2 12^1 14^1 16^1\). Moreover, if \(|C| \ge 330\) then \(|\operatorname{Aut}(C)| \le 14\) and if \(|C| \ge 334\) then \(|\operatorname{Aut}(C)| \le 12\).

\(\begin{align}G_{1,1}&= I&&C_{1}\\G_{2,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2}\\G_{3,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{3}\\G_{3,2}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{3}\\G_{4,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&1&0&0\\0&1&1&0&0&1&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\1&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&1&1&1\\0&1&1&1&0&1&0\\1&0&0&1&1&0&1\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&1&0&1&1&0\\1&0&1&1&1&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2}\times C_{2}\\G_{4,2}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&1&0&1&0\\1&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&0&1&0\\1&0&1&1&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&0\\1&0&1&0&0&1&0\\0&1&1&0&1&0&0\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&1&0\\1&1&1&0&0&1&1\\1&0&1&1&1&1&0\\1&0&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0&0\\1&1&0&1&1&1&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2}\times C_{2}\\G_{4,3}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&1&0\\1&1&1&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0&0\\1&0&1&1&0&0&0\\1&0&1&1&1&1&0\\0&1&0&1&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&1&1&0&0\\1&0&1&1&1&1&0\\1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&1&0\\1&1&1&0&1&1&0\\1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&1&1&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2} \times C_{2}\\G_{4,4}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&1&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&1&0\\0&1&0&1&1&1&1\\1&1&0&1&1&0&1\\1&1&0&0&0&0&1\\1&1&0&1&0&1&1\\0&0&0&1&1&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&1&1&0\\0&0&1&0&0&1&1\\1&0&0&1&0&1&0\\0&1&1&1&0&1&1\\0&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&0&1\\1&0&1&0&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2} \times C_{2}\\G_{4,5}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&1&0&1&0&1\\0&0&1&0&0&1&1\\0&1&0&1&0&0&1\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&1&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&1&1&0\\0&0&1&0&0&1&1\\1&0&0&1&0&1&0\\0&1&1&1&0&1&1\\0&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&0&1\\1&0&1&0&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2} \times C_{2}\\G_{4,6}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&1&1&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&1&1&0\\1&0&1&1&1&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&1&0\\1&1&0&1&1&0&1\\0&1&1&0&0&1&0\\1&0&0&1&0&0&1\\1&0&0&0&1&0&1\\1&0&0&1&1&1&1\\0&1&0&0&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2} \times C_{2}\\G_{4,7}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{4}\\G_{5,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\1&1&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{5}\\G_{6,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&1&1&0\\1&1&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\1&0&0&0&1&1&0\\1&1&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&1&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&0\\0&1&0&0&1&1&0\\0&1&1&1&0&1&0\\0&0&1&1&0&0&0\\1&0&1&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&S_{3}\\G_{6,2}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&1&0&1&0\\1&1&0&1&1&0&0\\0&0&0&1&1&1&0\\1&1&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&1&0\\0&1&1&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&1&0&1&0\\1&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\1&1&0&0&1&1&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&S_{3}\\G_{6,3}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&1&1&1&0\\1&1&1&0&1&0&0\\1&0&1&1&1&0&0\\1&1&1&0&0&0&0\\0&1&1&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{6}\\G_{7,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{7}\\G_{7,2}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&1&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{7}\\G_{8,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&1&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&0\\1&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&1&1&1\\1&0&0&1&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&1\\0&1&1&0&1&1&1\\0&0&1&1&1&0&1\\1&1&1&0&0&1&1\\1&0&0&1&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&0&0&1&1\\1&0&0&0&0&1&1\\0&1&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&1&0&0&0\\1&1&1&1&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2} \times C_{2}\times C_{2}\\G_{8,2}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&0&1&1\\0&0&0&0&1&1&0\\0&1&1&1&1&0&0\\0&1&0&1&0&0&1\\0&1&1&1&0&0&1\\0&1&0&0&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&0&1&1&0\\0&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0&1\\0&0&0&0&1&1&1\\0&1&0&1&0&0&1\\0&1&1&0&1&1&0\\0&0&1&0&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&1&1&0&1\\1&0&0&0&0&1&1\\1&1&1&0&0&1&1\\1&0&1&1&0&1&1\\0&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2} \times C_{2} \times C_{2}\\G_{8,3}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&1&0&0&0\\1&0&0&0&1&1&1\\1&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&1&1\\1&0&1&0&1&1&0\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&1&1\\1&0&1&1&1&1&0\\1&0&0&0&1&1&0\\0&1&0&1&0&0&1\\1&1&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&0&0&1\\0&0&0&1&0&0&1\\0&1&1&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\1&1&0&0&0&0&1\\0&1&0&1&1&0&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{4}\\G_{8,4}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&1&1&1&1\\1&1&0&1&0&1&0\\1&1&1&0&0&1&1\\1&1&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&1&1\\0&0&1&1&0&1&1\\0&1&0&0&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&1&1&0\\1&1&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&1&1&1&0\\0&0&0&0&1&0&0\\1&1&0&1&1&1&0\\0&1&1&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&1&0&0\\1&0&1&1&1&1&0\\1&1&0&1&1&1&0\\0&1&0&0&1&0&1\\0&0&0&0&1&0&0\\0&1&0&1&0&1&1\\1&0&1&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&Q_{8}\\G_{8,5}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&1&1\\1&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&1&1\\1&0&1&0&1&0&1\\1&1&1&1&1&1&0\\1&0&1&1&0&1&1\\1&1&0&0&1&1&0\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&1&1&0\\0&1&1&1&1&0&0\\0&1&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&1&0&1\\1&0&1&0&0&1&1\\1&0&1&0&1&0&0\\1&1&1&1&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&1&1&0&1&0\\1&1&1&0&0&1&1\\1&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&1&1&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&Q_{8}\\G_{8,6}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&1&1&0&1\\1&1&1&1&1&0&1\\1&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&1&0&1&1\\0&1&0&1&0&0&1\\0&0&0&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&1&1&0\\0&1&0&1&1&1&1\\0&0&0&0&1&1&0\\1&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&1&0&1\\0&0&0&1&1&0&1\\1&0&0&1&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&1&1&0&1\\0&0&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&1&0&1&0&1&1\\0&1&1&0&1&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&D_{8}\\G_{8,7}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&1&1\\1&1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&1&0&0\\1&0&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&1&1\\1&1&0&0&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&1\\0&1&0&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&1&1\\1&1&0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&1&0&0&1\\1&1&1&0&0&1&1\\1&0&0&0&0&1&1\\1&1&0&1&1&1&1\\0&0&0&0&1&0&0\\1&1&1&1&1&0&0\\0&1&1&0&1&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{4}\times C_{2}\\G_{8,8}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&1&1&1&1\\1&1&0&1&0&1&0\\1&1&1&0&0&1&1\\1&1&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&1&1\\0&0&1&1&0&1&1\\0&1&0&0&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&1&1&1\\1&0&0&1&1&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&1&0&0&1&0&0\\0&1&1&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&1&0&0\\1&0&1&1&1&1&0\\1&1&0&1&1&1&0\\0&1&0&0&1&0&1\\0&0&0&0&1&0&0\\0&1&0&1&0&1&1\\1&0&1&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{4}\times C_{2}\\G_{8,9}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&1&1\\1&1&1&0&0&1&1\\1&1&0&1&1&1&0\\1&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&1&0&0&1\\0&0&1&1&0&1&1\\0&1&1&0&1&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&1&0&0&0&1\\0&1&0&1&0&1&1\\0&0&0&0&0&1&0\\1&1&1&0&0&1&0\\0&0&1&1&1&0&1\\0&0&1&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&1&0\\1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&D_{8}\\G_{8,10}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&1&0&0&1\\1&0&0&1&0&0&0\\1&0&1&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&1&0&1&1\\1&1&0&0&1&0&1\\1&0&0&1&1&0&0\\1&0&0&0&1&1&0\\0&0&1&1&1&0&1\\1&0&1&1&1&1&0\\0&0&1&0&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&1&0\\1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&D_{8}\\G_{8,11}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&1&1&0&0\\0&1&0&0&0&0&1\\0&0&1&0&1&0&1\\1&1&0&0&1&0&1\\0&1&0&1&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&1\\0&1&0&0&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{8}\\G_{9,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&1&0&1&0\\1&0&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&0&0\\1&1&0&0&1&1&0\\1&1&0&1&1&0&0\\0&1&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{9}\\G_{9,2}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&1&0\\1&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&0&0&1&0\\1&1&0&0&1&0&0\\1&1&0&1&1&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&1&0\\1&0&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&0&0\\0&0&0&1&0&1&0\\0&1&1&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{3}\times C_{3}\\G_{12,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&1&1&0&1\\1&1&1&1&1&0&0\\1&1&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&1&1&1\\0&0&0&0&1&0&0\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&1&1\\1&0&1&0&1&0&1\\1&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&1&1\\0&1&0&1&1&1&1\\1&0&1&1&1&0&0\\1&1&0&0&0&1&1\\1&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{3}\rtimes C_{4}\\G_{14,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&1&1&1&1&0&0 \\0&1&1&0&0&0&0 \\0&1&1&0&1&0&0 \\0&1&0&0&0&0&0 \\0&0&1&0&1&1&0 \\1&0&1&0&0&1&0 \\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{14}\\G_{16,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&1&0&0\\1&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&1&0\\0&1&0&0&0&0&1\\1&0&1&0&1&1&1\\1&0&1&0&0&1&0\\0&0&1&1&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix} 0&0&1&1&0&1&1\\ 1&0&1&1&1&0&1\\ 0&1&1&1&1&1&0\\ 0&0&1&1&0&1&0\\ 1&1&1&1&0&1&0\\ 1&0&0&1&0&1&1\\ 0&0&1&0&0&0&0\\ \end{smallmatrix}\right) \right\rangle &&(C_{4} \times C_{2}) \rtimes C_{2}\end{align}\)

BraunKiermaierNakic2016: \(G_{1,1}\), \(G_{2,1}\), \(G_{3,1}\), \(G_{3,2}\), \(G_{4,7}\)
KiermaierKurzWassermann2018: \(G_{1,1}\), \(G_{2,1}\)

Thomas1987: groups of order 127 are Singer cycles

Do you have better bounds?