Details for entry \(A_2(7,4;3)\)

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(see EtzionSilberstein2012 and Heinlein2018 for details)
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HeinleinKiermaierKurzWassermann2017, Theorem 1
Let \(C\) be a set of planes in \(\operatorname{PG}(6,2)\) mutually intersecting in at most a point. If \(|C|\ge 329\), then the automorphism group of \(C\) is conjugate to one of the \(33\) subgroups of \(\operatorname{GL}(7,2)\). The orders of of these groups are \(1^1 2^1 3^2 4^7 5^1 6^3 7^2 8^{11} 9^2 12^1 14^1 16^1\). Moreover, if \(|C| \ge 330\) then \(|\operatorname{Aut}(C)| \le 14\) and if \(|C| \ge 334\) then \(|\operatorname{Aut}(C)| \le 12\).

\(\begin{align}G_{1,1}&= I&&C_{1}\\G_{2,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2}\\G_{3,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{3}\\G_{3,2}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&0&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{3}\\G_{4,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&1&0&0\\0&1&1&0&0&1&0\\0&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\1&0&1&1&0&0&0\\0&0&0&1&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&1&1&1\\0&1&1&1&0&1&0\\1&0&0&1&1&0&1\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&1&0&1&1&0\\1&0&1&1&1&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2}\times C_{2}\\G_{4,2}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&1&0&1&0\\1&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&0&1&0\\1&0&1&1&0&0&0\\1&0&1&0&1&0&0\\1&0&1&0&0&1&0\\0&1&1&0&1&0&0\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&1&0\\1&1&1&0&0&1&1\\1&0&1&1&1&1&0\\1&0&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0&0\\1&1&0&1&1&1&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2}\times C_{2}\\G_{4,3}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&1&0\\1&1&1&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&1&0\\1&0&1&0&1&0&0\\1&0&1&1&0&0&0\\1&0&1&1&1&1&0\\0&1&0&1&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&1&1&0&0\\1&0&1&1&1&1&0\\1&0&0&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&1&0\\1&1&1&0&1&1&0\\1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&1&1&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2} \times C_{2}\\G_{4,4}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&1&0&0&1&1\\1&1&1&1&0&1&0\\0&1&0&1&1&1&1\\1&1&0&1&1&0&1\\1&1&0&0&0&0&1\\1&1&0&1&0&1&1\\0&0&0&1&1&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&1&1&0\\0&0&1&0&0&1&1\\1&0&0&1&0&1&0\\0&1&1&1&0&1&1\\0&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&0&1\\1&0&1&0&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2} \times C_{2}\\G_{4,5}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&1&0&1&0&1\\0&0&1&0&0&1&1\\0&1&0&1&0&0&1\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&1&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&1&1&0\\0&0&1&0&0&1&1\\1&0&0&1&0&1&0\\0&1&1&1&0&1&1\\0&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&0&1\\1&0&1&0&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2} \times C_{2}\\G_{4,6}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&0&1&1&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&1&1&0\\1&0&1&1&1&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&1&0\\1&1&0&1&1&0&1\\0&1&1&0&0&1&0\\1&0&0&1&0&0&1\\1&0&0&0&1&0&1\\1&0&0&1&1&1&1\\0&1&0&0&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2} \times C_{2}\\G_{4,7}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{4}\\G_{5,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\1&1&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{5}\\G_{6,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&1&1&0\\1&1&0&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&0&0\\0&0&0&1&0&0&0\\1&0&0&0&1&1&0\\1&1&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&1&1&1&0&0\\1&1&1&1&0&0&0\\0&1&0&0&1&1&0\\0&1&1&1&0&1&0\\0&0&1&1&0&0&0\\1&0&1&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&S_{3}\\G_{6,2}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&1&0&1&0\\1&1&0&1&1&0&0\\0&0&0&1&1&1&0\\1&1&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&1&1&0\\0&1&1&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&1&0&1&0\\1&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&0\\1&1&0&0&1&1&0\\1&0&0&0&0&0&0\\0&1&1&1&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&S_{3}\\G_{6,3}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&1&1&1&0\\1&1&1&0&1&0&0\\1&0&1&1&1&0&0\\1&1&1&0&0&0&0\\0&1&1&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{6}\\G_{7,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{7}\\G_{7,2}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&1&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{7}\\G_{8,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&1&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&1&0&0&0\\0&0&1&0&0&0&0\\1&1&1&1&1&1&0\\1&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&1&1&1\\1&0&0&1&0&0&0\\1&1&0&0&0&0&1\\0&1&1&0&1&1&1\\0&0&1&1&1&0&1\\1&1&1&0&0&1&1\\1&0&0&1&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&1&1\\1&1&1&0&0&1&1\\1&0&0&0&0&1&1\\0&1&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&1&0&0&0\\1&1&1&1&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2} \times C_{2}\times C_{2}\\G_{8,2}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&1&1&1&1\\0&0&1&1&0&1&1\\0&0&0&0&1&1&0\\0&1&1&1&1&0&0\\0&1&0&1&0&0&1\\0&1&1&1&0&0&1\\0&1&0&0&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&0&1&1&0\\0&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0&1\\0&0&0&0&1&1&1\\0&1&0&1&0&0&1\\0&1&1&0&1&1&0\\0&0&1&0&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&1&1&0&1\\1&0&0&0&0&1&1\\1&1&1&0&0&1&1\\1&0&1&1&0&1&1\\0&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{2} \times C_{2} \times C_{2}\\G_{8,3}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&1&0&0&0\\1&0&0&0&1&1&1\\1&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&1&1\\1&0&1&0&1&1&0\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&1&1\\1&0&1&1&1&1&0\\1&0&0&0&1&1&0\\0&1&0&1&0&0&1\\1&1&1&1&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&0&0&1\\0&0&0&1&0&0&1\\0&1&1&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\1&1&0&0&0&0&1\\0&1&0&1&1&0&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{4}\\G_{8,4}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&1&1&1&1\\1&1&0&1&0&1&0\\1&1&1&0&0&1&1\\1&1&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&1&1\\0&0&1&1&0&1&1\\0&1&0&0&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&1&1&0\\1&1&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&1&1&1&0\\0&0&0&0&1&0&0\\1&1&0&1&1&1&0\\0&1&1&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&1&0&0\\1&0&1&1&1&1&0\\1&1&0&1&1&1&0\\0&1&0&0&1&0&1\\0&0&0&0&1&0&0\\0&1&0&1&0&1&1\\1&0&1&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&Q_{8}\\G_{8,5}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&1&1\\1&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&1&1\\1&0&1&0&1&0&1\\1&1&1&1&1&1&0\\1&0&1&1&0&1&1\\1&1&0&0&1&1&0\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&1&1&0\\0&1&1&1&1&0&0\\0&1&0&0&0&0&1\\0&1&1&1&1&0&1\\1&0&1&0&0&1&1\\1&0&1&0&1&0&0\\1&1&1&1&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&1&1&0&1&0\\1&1&1&0&0&1&1\\1&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&1&1&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&Q_{8}\\G_{8,6}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&1&1&0&1\\1&1&1&1&1&0&1\\1&1&0&0&0&0&0\\0&1&0&1&0&1&1\\0&1&0&1&0&0&1\\0&0&0&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&1&1&0\\0&1&0&1&1&1&1\\0&0&0&0&1&1&0\\1&0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&1&0&1\\0&0&0&1&1&0&1\\1&0&0&1&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&1&0&1&1&0&1\\0&0&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&1&0&1&0&1&1\\0&1&1&0&1&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&D_{8}\\G_{8,7}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&1&1\\1&1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&1&0&0\\1&0&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&0&0\\0&0&0&1&1&0&0\\0&1&1&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&1&1\\1&1&0&0&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&1&1\\0&1&0&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&1&1\\1&1&0&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&1&0&0&1\\1&1&1&0&0&1&1\\1&0&0&0&0&1&1\\1&1&0&1&1&1&1\\0&0&0&0&1&0&0\\1&1&1&1&1&0&0\\0&1&1&0&1&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{4}\times C_{2}\\G_{8,8}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&1&1&1&1\\1&1&0&1&0&1&0\\1&1&1&0&0&1&1\\1&1&0&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&1&1\\0&0&1&1&0&1&1\\0&1&0&0&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&1&0\\0&1&0&1&1&1&1\\1&0&0&1&1&0&0\\1&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&1&0&0&1&0&0\\0&1&1&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&1&0&0\\1&0&1&1&1&1&0\\1&1&0&1&1&1&0\\0&1&0&0&1&0&1\\0&0&0&0&1&0&0\\0&1&0&1&0&1&1\\1&0&1&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{4}\times C_{2}\\G_{8,9}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&0&1&1\\1&1&1&0&0&1&1\\1&1&0&1&1&1&0\\1&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&1&0&0&1\\0&0&1&1&0&1&1\\0&1&1&0&1&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&1&0&0&0&1\\0&1&0&1&0&1&1\\0&0&0&0&0&1&0\\1&1&1&0&0&1&0\\0&0&1&1&1&0&1\\0&0&1&0&0&0&0\\1&1&0&1&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&1&0\\1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&D_{8}\\G_{8,10}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\0&0&1&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&0&1\\1&0&0&0&0&1&0\\0&1&0&1&0&0&1\\1&0&0&1&0&0&0\\1&0&1&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&1&0&1&1\\1&1&0&0&1&0&1\\1&0&0&1&1&0&0\\1&0&0&0&1&1&0\\0&0&1&1&1&0&1\\1&0&1&1&1&1&0\\0&0&1&0&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&0&0&1&0&1&0\\1&0&0&0&1&1&1\\1&1&1&0&1&1&1\\0&1&1&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\1&1&1&1&1&0&0\\1&0&1&0&0&1&0\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&D_{8}\\G_{8,11}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&1&1&0&0\\0&1&0&0&0&0&1\\0&0&1&0&1&0&1\\1&1&0&0&1&0&1\\0&1&0&1&0&0&1\\1&1&1&1&1&0&1\\0&1&0&0&0&1&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{8}\\G_{9,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&1&1&0&1&0\\1&0&1&1&1&0&0\\0&0&1&1&1&0&0\\1&1&0&0&1&1&0\\1&1&0&1&1&0&0\\0&1&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{9}\\G_{9,2}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&1&0\\1&0&0&0&0&1&0\\0&1&1&0&0&1&0\\1&1&0&0&1&0&0\\1&1&0&1&1&0&0\\0&1&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}0&1&0&0&0&1&0\\1&0&1&0&0&0&0\\1&0&1&0&0&1&0\\0&1&1&1&1&0&0\\0&0&0&1&0&1&0\\0&1&1&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{3}\times C_{3}\\G_{12,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&1&1\\0&0&0&1&1&0&1\\1&1&1&1&1&0&0\\1&1&0&0&1&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&1&1&1\\0&0&0&0&1&0&0\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&1&1\\1&0&1&0&1&0&1\\1&0&0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&1&1\\0&1&0&1&1&1&1\\1&0&1&1&1&0&0\\1&1&0&0&0&1&1\\1&0&0&0&1&0&0\\1&0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&1&0\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{3}\rtimes C_{4}\\G_{14,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&1&1&1&1&0&0 \\0&1&1&0&0&0&0 \\0&1&1&0&1&0&0 \\0&1&0&0&0&0&0 \\0&0&1&0&1&1&0 \\1&0&1&0&0&1&0 \\0&0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right)\right\rangle&&C_{14}\\G_{16,1}&=\left\langle\left(\begin{smallmatrix}0&0&1&0&1&0&0\\1&0&0&0&1&0&0\\0&0&0&1&0&1&0\\0&1&0&0&0&0&1\\1&0&1&0&1&1&1\\1&0&1&0&0&1&0\\0&0&1&1&1&1&1\\\end{smallmatrix}\right),\left(\begin{smallmatrix} 0&0&1&1&0&1&1\\ 1&0&1&1&1&0&1\\ 0&1&1&1&1&1&0\\ 0&0&1&1&0&1&0\\ 1&1&1&1&0&1&0\\ 1&0&0&1&0&1&1\\ 0&0&1&0&0&0&0\\ \end{smallmatrix}\right) \right\rangle &&(C_{4} \times C_{2}) \rtimes C_{2}\end{align}\)

BraunKiermaierNakic2016: \(G_{1,1}\), \(G_{2,1}\), \(G_{3,1}\), \(G_{3,2}\), \(G_{4,7}\)
KiermaierKurzWassermann2018: \(G_{1,1}\), \(G_{2,1}\)

Thomas1987: groups of order 127 are Singer cycles

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